С О Ц И Н Т Е Г Р У М

Отвечая на вопрос Doberman'а:
Описание модели из шести уравнений, которые могут быть линейными,
и при этом демонстрировать детерминированный хаос.

Модель состоит из шести уравнений и описывает международную торговлю
трёх стран. Экономика каждой страны описывается двумя уравнениями,
отражающими динамику национального дохода и ставки процента в
соответствии с предпосылками кейнсианской экономической доктрины.
Для i-ой страны (i может быть равно 1, 2, 3) уравнения выглядят так:
dYi/dt = Ai (Ii - Si) + Ex i - Im i
dRi/dt = Bi (Li - Mi/Pi)
где
Ai, Bi - константы;
Yi - национальный доход i-ой страны (фазовая переменная);
Ri - текущая ставка процента в i-ой стране (фазовая переменная);

Ii - функция спроса на инвестиции i-ой страны, которая может
быть записана как
Ii = DYi*Yi + DIi*(RRi - Ri),
где DYi - константа, означающая предельную склонность к
инвестированию в зависимости от уровня национального дохода
в i-й стране,
DIi - константа, означающая предельную склонность к инвестированию
в зависимости от разницы между предельной эффективностью капитала и
текущей ставкой процента в i-й стране,
RRi - константа, означающая предельную эффективность капитала в
i-ой стране;

Si - функция сбережений i-ой страны, которая может быть записана как
Si = SYi*Yi + SIi*Ri - CAi,
где
SYi - константа, означающая предельную склонность к сбережению в
зависимости от уровня дохода в i-ой стране,
SIi - константа, показывающая склонность к сбережению в зависимости
от ставки процента в i-ой стране,
CAi - константа, означающая автономное потребление, то есть
уровень потребления, не зависящий от уровня дохода, в i-ой стране;

Li - функция спроса на деньги i-ой страны, которая может быть
записана следующим образом:
Li = LYi * Yi + LIi * (Rmax i - Ri),
где
LYi - константа, означающая предпочтение ликвидности по доходу
(для осуществления сделок и по мотиву предосторожности) в
i-ой стране,
LIi - константа, означающая предельную склонность к предпочтению
ликвидности в качестве имущества (спекулятивный мотив), в
i-ой стране,
Rmax i - константа, означающая максимальное значение ставки
процента, при котором облигации становятся настолько
привлекательными, что никто не захочет в составе имущества
иметь деньги, в i-ой стране;

Mi - объём денежной массы i-й страны, константа;
Pi - уровень цен i-й страны, константа (таким образом,
константа Mi/Pi представляет собой предложение денег в i-й
стране);

Ex i - функция экспорта i-ой страны, которая может быть записана,
например, так:
Ex i = E0i + Ui * Yj + Vi * Yk, где Yj и Yk - значения национального
дохода в двух других странах (j-й стране и k-й стране),
E0i, Ui и Vi - константы;

Im i - функция импорта i-й страны, которая может быть записана так:
Im i = Z0i + Zi* Yi, где Yi - национальный доход i-ой страны,
Z0i - константа, Zi - константа, предельная склонность к потреблению
импортных благ в i-ой стране.

В целом система из шести уравнений будет выглядеть так:
dY1/dt = A1 (I1 - S1) + Ex 1 - Im 1
dR1/dt = B1 (L1 - M1/P1)
dY2/dt = A2 (I2 - S2) + Ex 2 - Im 2
dR2/dt = B2 (L2 - M2/P2)
dY3/dt = A3 (I3 - S3) + Ex 3 - Im 3
dR3/dt = B3 (L3 - M3/P3)

Исходя из вышеизложенного, модель можно рассматривать как
систему линейных дифференциальных уравнений с постоянными
коэффициентами.
При определённом сочетании констант этой системы дифференциальных
уравнений модель демонстрирует хаотическое поведение на отдельных
отрезках времени, а в некоторых случаях фазовые траектории выходят
на странный аттрактор.

Источники:
1) Занг В.Б. Синергетическая экономика. Время и перемены в
нелинейной экономической теории. М.: Мир, 1999, с. 117-122; 173-175.
2) Тарасевич Л.С., Гальперин В.М., Гребенников П.И., Леусский А.И.
Макроэкономика / Общая редакция Л.С. Тарасевича. - СПб.: Издательство
СПбГУЭФ, 1999, Глава 3 (Рынок благ) и Глава 4 (Рынок денег).

Здравствйте, Artashir.
Правильно ли я понимаю, что речь идет о системе 6 линейных уравнений?
Искомый вектор X = (Y1;R1;Y2;R2;Y3;R3), а уравнение имеет вид:
DX/Dt = AX + B; (1)
где A - матрица 6 на 6, B - ветор. A и B - постоянные (матрица и вектор).
Но такое уравнение должно иметь решение:
X(t) = Const * Exp(A*t) - (A^(-1))*B. (2)
A^(-1) - это обратная матрица. Exp(A*t) - экспонента от матрицы A*t.
Зависимость (2) - это точное аналитическое решение системы (1).
Однако если det A = 0, обратная матрица не существует.
Правильно ли я понимаю, что ситуация детерминированного хаоса возможна
если det A = 0?
Григорий.

Нет, хаотическое поведение возможно в системе из
шести уравнений, даже если существует обратная матрица.
Дело в том, что в общем случае представленная модель может быть
нелинейной, если нелинейны все или некоторые из функций:
Ii
Si
Ex i
Im i
Li
При определённых свойствах этих функций наблюдается хаос. Но самое
удивительное, что эти свойства могут выполняться, даже если функции
будут линейными, как в приведённом примере. Хотя при этом получается
классическая, описанная в любом учебнике, система линейных
дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
Я проводил численное моделирование, это действительно
так.

Здравствуйте, Artashir.
Я так понимаю, что Вы перешли к рекуррентным уравнениям, заменив производные разностями: DX/Dt = X(t+1) - X(t)?
Эта операция качественно меняет всю динамику. Возьмем, например, логистическое уравнение:
DX/Dt = a * X * (1 - X) (1)
и заменим в нем производную на ее приближение:
DX/Dt = (X(t+tau) - X(t))/tau. После несложных преобразований мы придем
к логистическому рекуррентному уравнению:
Y(t+tau) = (1 + a*tau) * Y(t) * (1 - Y(t)), (2)
где Y = X * (a*tau)/(1 + a * tau).
Уравнение (1) - имеет хорошие регулярные решения, а уравнение (2) может давать и предельные циклы и хаос, в зависимости от величины 1 + a*tau.
Хаос возникает таким образом вследствие "загрубления" исходного уравнения (1) и замены его рекурентным аналогом.
Вопрос такой - правомерно ли заменять дифференциальные уравнения на их рекурентные аналоги? Соответствует ли такая замена реальным процессам?
Действительно ли динамика реальных процессов может быть поделена на отдельные периоды, внутри которых системные переменные можно считать фиксированными и как следствие можно перейти к рекурентным формулам.
Численные методы решения систем дифференциальных уравнений как раз основаны на подобной замене производных их приближенными разностными выражениями. Такая замена может приводить к "раскачке системы". Не в этом ли причина?
Григорий.

Здравствуйте, Григорий

Нет, я этого не делал. Конечно, я знаю, что дискретные отображения
дают новые качественные эффекты по сравнению с дифференциальными
уравнениями. В частности, упомянутое Вами дискретное отображение
Y(t+tau) = (1 + a*tau) * Y(t) * (1 - Y(t))
даёт детерминированный хаос при определённых значениях
константы (1 + a*tau) и ряд других качественных эффектов
(но только не предельные циклы).
Для того, чтобы проявлялись качественные эффекты, свойственные
дискретным отображениям, нужно было бы решать исходные
дифференциальные уравнения методом Эйлера с достаточно
большим шагом.
А я решал их методом Рунге-Кутта четвёртого порядка.

Нет, речь совсем о другом.
Начнём с того, что предельный цикл может проявляться
и в системе из двух уравнений, описывающих экономику
отдельной страны. Вообще, он может появиться, если есть
особая точка типа фокус (то есть характеристическое уравнение
имеет комплексные корни, или мнимая составляющая должна
быть ненулевой).
Далее, перейдём к полной системе из шести уравнений.
Если во всех трёх экономиках имеют место колебания, то
фазовые траектории системы уравнений будут
представлять собой трёхмерный тор в шестимерном пространстве.
А возмущение движения по трёхмерным торам может приводить к
детерминированному хаосу...

Здравствуйте, Artashir.

Относительно логистического рекурентного отображения:
Y(n+1) = r * Y(n) * (1 - Y(n))

Почему Вы считаете, что "только не предельные циклы" могут иметь место?
А что такое тогда 2-циклы, 4-циклы и вообще 2^m - циклы, период которых
удваивается вместе с каждой новой бифуркацией удвоения при росте r.
При r>3 неподвижная точка Y0 = 1 - 1/r перестает быть устойчивой и
возникает 2-периодический цикл, который по мере роста r переходит
в 4-периодический (при r = 3.449499),... 2^m периодический и т.д.
При некотором r (период обращается в бесконечность) - наступает
хаотический режим (r = 3.5699456), но и в хаотической области есть
"окна" (значения r), при которых возможен периодический режим -
например, 3-периодический цикл при r = 1 + Sqrt(8). Эти циклы
формально соответствуют определению предельных циклов как "замкнутых
траекторий, являющихся alfa- или w- предельными множествами хотя
бы одной другой траектории динамической системы" (то есть
траекториями, к которым "притягивается" траектория системы при очень
больших t (w- предельное множество) или при t стремящемся к минус
бесконечности (алфа-предельные).
Периодические орбиты (2^m - циклы) удовлетворяют
этому определению. При заданном r обеспечивающем периодический режим
почти при любом начальном значении Y(0) с течением времени (при
большом числе итераций) система неограниченно приближается
к определенному 2^m - циклу (соответствующему данному значению r).
Подробнее, например, Шустер, г.г. "Детерминированный хаос".
Поэтому я не согласен или здесь какая-то путаница с определением терминов.

Относительно метода Рунге-Кутта.
1) Этот метод в первом порядке точности сводится к методу Эйлера.
2) С увеличением порядка меняется лишь выбор интерполяционного
многочлена, которым аппроксимируется подинтегральная функция
в интегральном представлении динамической системы.

Исходная система: DY/Dt = F(Y) (1)
Заменяется на: Y(t+h) = Y(t) + Интеграл от F[Y(t)] (от t до t + h). (2)
(это две эквивалентные записи одной и той же динамической системы).

Разным порядкам метода Рунге-Кута соответствуют разные способы
выбора интерполяционного многочлена для подинтегральной функции
в (2).
А) Нулевому порядку - квадратурная формула вычисления интеграла
как площади прямоугольника: Интеграл = h*F[Y(t)].
B) Первому порядку - формула "трапеции": Интеграл = h* (F[Y(t)]+F[Y(t+h)])/2.
C) Четвертому порядку - формула "три восьмых" - интерполяция по
четырем равноотстоящим узлам: t; t+h/3; t+2h/3; t+h.
Интеграл = (Fi0 + 3*Fi1 + 3*Fi2 + Fi3)/8;
где Fi0 = h*F[Y(t)]; Fi1 = h*F[Y(t) +Fi0/3); Fi2 = h*F[Y(t)-Fi0/3+Fi1];
Fi3 = h*F[Y(t)+Fi0-Fi1+Fi2].
Из этих формул видно, что и в четвертом порядке метода Рунге-Кута
имеет место замена исходной системы (1) ее рекурентным аналогом:
Y(t+h) = Y(t) + (Fi0 + 3*Fi1 + 3*Fi2 + Fi3)/8 = G(Y(t)).
Но такое дискретное отображение может при каких-то параметрах
функции F() демонстрировать свойства, которых нет у решений исходной
системы (1). Это могут быть свойства 2^m-периодичности или хаотичность
динамики. Но все эти свойства возникают вследствие замены исходного
уравнения его рекурентным (дискретным, разностным) аналогом.
Схема Рунге-Кута - один из методов такой замены.
Если система, решаемая этим методом, демонстрирует эти свойства, это
еще не значит, что эти свойства присущи исходной системе. Они вполне
могут быть специфическими свойствами именно дискретного отображения.
Григорий.

Здравствуйте, Григорий
Относительно логистического рекурентного отображения:
Y(n+1) = r * Y(n) * (1 - Y(n))
и определения предельных циклов как

Да, при любом начальном значении в итоге устанавливается колебательный
режим, соответствующий двум, четырём и т.д. возможным значениям, в
зависимости от константы r. Вопрос лишь в том, можно ли терминологически
данные колебания считать предельными циклами. Дело в том, что я не
встречал в литературе употребление этого термина только применительно к
обыкновенным дифференциальным уравнениям, но не дискретным отображениям. И в самом деле, можно ли говорить о замкнутой
фазовой траектории, если имеется всего одна переменная, которая принимает
2, или 4, или 8 и т.д. значений (конечное число, если не имеем в виду хаос) ?

По поводу метода Рунге-Кутта. Конечно, это замена исходной непрерывной
системы дискретным аналогом. Однако, при достаточно малом шаге h
специфические свойства, характерные для дискретных отображений,
проявляться не должны.

Здравствуйте, Artashir.
Вы правы, дело в терминологии. Эти 2^m - периодические циклы похожи на классические "предельные циклы" тем, что траектория системы с течением времени приближается к траектории одного из таких циклов. Я имел
ввиду именно это их свойство. В конечном счете, дело не в названии. Важно, что дискретные отображения могут давать такое асимптотически-периодическое движение. Именно это я хотел подчеркнуть. И эта периодичность, а также хаотическая динамика свойственны многим дискретным отображениям.
Поэтому возникает вопрос - в какой мере применение того или иного численного алгоритма, сводящего исходную задачу к дискретному отображению, не искажает исходную динамику системы?
Не являются ли наблюдаемые "нелинейные" свойства численного решения результатом дискретизации исходного отображения?



Это следует доказать. Например, если взять дискретное отображение, приближающее исходное логистическое уравнение:



то при любом tau существует такое достаточно большое a, при котором будут иметь место "нелинейные" эффекты в динамике численного решения. Это значит, что для "хорошего" численного решения необходимо согласовывать выбор шага tau с значением параметра a. Если этого не делать, то при каких-то значениях a - начнут обнаруживаться "нелинейные" эффекты динамики.
Повышение порядка точности метода численного решения даст лишь более мягкие условия согласования "шага" и величины параметров, но сам факт необходимости предусмотреть такую процедуру при численном решении - этот факт остается. Был ли проведен такой анализ для численного решения системы из шести уравнений?
Григорий.

Здравствуйте, Григорий
Как таковой анализ я не проводил, но делал ряд численных экспериментов, постоянно уменьшая шаг h. Наличие "хаотических" участков фазовых траекторий сохранялось.

Здравствуй, Artashir
Спасибо большое за ответ! (если честно я уже перестал надеется). Теперь буду читать и вникать...

Так я ещё в конце января эту модель описал ...

Здравствуйте, Artashir.
Вы ответили на вопрос, который я как раз собирался задать.
Если хаотичность сохраняется и при уменьшении шага - то причина хаотичности, конечно, не в замене исходных уравнений их дискретным приближением. Но и в этом случае необходимо проверить многократно уменьшая шаг и анализируя, как это сказывается на динамике системы. Возможно, что на каком-то этапе уменьшения шага хаотичность исчезнет.
Предположим, что этого не происходит.
Тогда встает вопрос, как согласовать регулярность решений в исходной системе и хаотические свойства численного решения? Возможно, причина хаотичности в том, что в программе MathCad не учтено различие между "классическими эквивалентными преобразованиями" и "эквивалентными преобразованиями в расширенном смысле". Класс классических эквивалентных преобразований - более широкий, чем "расширенных". Он включает в себя такие операции как 1) "группировка одночленов", 2) "деление на общий множитель левой и правой части", 3) "взятие производной от левой и правой части", 4) "понижение порядка системы за счет введения новых переменных или повышение порядка за счет исключения части переменных". Преобразования типа 1) и 2) являются не просто эквивалентными, но эквивалентными "в расширенном смысле", тогда как преобразования 3) и 4) могут быть неэквивалентными "в расширенном смысле".
При неэквивалентных в расширенном смысле преобразованиях могут меняться свойства устойчивости системы по отношению к малым вариациям параметров системы.
Этот фундаментальный факт был обнаружен совсем недавно учеными СПб Университета, Петровым Ю.П. и Петровым Л.Ю. В своей книге "Неожиданное в математике и его связь с авариями и катастрофами", СПб, 2005, они приводят множество примеров того, как замена одной системы уравнений - другой системой уравнений (эквивалентной ей в классическом смысле) приводит к изменению свойств устойчивости. Система, устойчивая к малым вариациям параметров, после таких преобразований может стать неустойчивой системой, и наоборот.
Не в этом ли причина возникновения хаотичности?
Если не в этом, то как же все-таки согласовать регулярность решения системы исходной и хаотичную динамику численного решения?
Григорий.

Здравствуйте, Григорий
Что ж, возможно Вы правы и причина появления хаотичности - в свойствах преобразованной, а не исходной системы уравнений. Признаюсь, приведенные Вами факты из работы Петровых являются для меня совершенно неожиданными. Спасибо за интересную информацию.

Однако, думаю, всё же имеет смысл обсуждение возможности с появления
хаотичности в исходной системе.
Модель описана в
Занг В.Б. Синергетическая экономика. Время и перемены в
нелинейной экономической теории. М.: Мир, 1999, с. 173-175.

Однако, там сформулированы только самые общие свойства функций
сбережений, инвестиций и спроса на деньги, а именно знаки
частных производных этих функций по тем или иным переменным модели.
И всё. О линейности/нелинейности функций, их асимптотическом поведении и прочих свойствах там не говорится ни слова, то есть больше никакие свойства функций не заданы ( ).
В то же время в книге утверждется, что фазовые траектории модели движутся по трёзмерным торам. А в определённых случаях при движении по торам возможен переход к хаосу.

Но, коль скоро никакие иные свойства, кроме знаков производных, не заданы, то получается, что функции могут быть и линейными. Меня это
очень удивило и решил проверить это путём численного эксперимента.
Оказалось - действительно, хаос ...
Вопрос лишь в том, как это объяснить - или
а) выводы, сделанные в книге, распространяются и на линейные уравнения;
или
б) это, так сказать, издержки численного решения, вызванные обсуждавшимися нами причинами.

Здравствуйте, Artashir.
И еще одна очень полезная книжка, написанная как раз в тот период, когда создавалась теория оценивания результатов численного моделирования:
И.Бабушка, Э.Витасек, М.Прагер, "Численные процессы решения дифференциальных уравнений", Мир, 1969.
На примере использования разных методов решения прослеживается и графически иллюстрируется как пороисходит нарастание ошибок в процессе вычислений. Авторы показывают, что выбор оптимального способа численного решения - очень сложная задача и в разных случаях требуются разные способы. Они показывают, что стремление уменьшить ошибку метода посредством уменьшения величины шага ведет к росту ошибки округления, которая нарастает вследствие роста объема вычисляемых операций, в каждой из которых происходит процесс округления (стр.94-95).
Честно сказать, я очень сомневаюсь, что в линейной системе может возникать хаос. Видимо все-таки дефекты наших современных программ.
Григорий.

Спасибо, Григорий
Что ж, возможно, так оно и есть, и это всё "фокусы" методов численных
вычислений. Тем не менее странно, что в книге Занга, где описывается
модель, не оговорили свойства функций, входящих в неё, кроме
знаков частных производных. То есть по описанию модели в книге
неясно, при каких именно свойствах функций там может возникать
хаос.